RELASI DAN FUNGSI

Pada tulisan ini anda akan disuguhkan tentang Fungsi

Untuk memahami konsepnya secara mendasar, diawali dengan pengertian

produk cartesius, dan Relasi terlebih dahulu.

• Pengertian Produk Cartesius

Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x Î A dan y Î B dan ditulis AxB = {(x,y) | x ÎA dan y Î B}.

Contoh :
Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :
a.    A x B               c.  A x A
b.    B x A               d.  B x B

  Jawab :

a.    A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}

b.    B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

c.    A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

Coba tuliskan B x B

• Pengertian Relasi
  A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.

Pada relasi R = {(x,y)| x Î A dan y Î B} dapat disebutkan bahwa :

a.    Himpunan koordinat pertama (absis) dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal (domain). 

b.    Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).

c.    Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y Î B disebut daerah hasil (range) relasi R.

Suatu relasi R = {(x,y) | x Î A dan y Î B} dapat ditulis dengan menggunakan :

a.    Diagram panah

b.    Grafik pada bidang Cartesius

Contoh :

Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x Î A, y Î B}.

  Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :

Domain     : D_f : {1,2,3,4}

Kodomain : K_f : {0,1,2,3,4}

Range       : R_f : {0,1,2,3}

 

 

             

 

fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :

1. FUNGSI
   Suatu fungsi biasa juga disebut pemetaan
   Pengertiannya, suatu Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.

   f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B

   jika x ÎA dan y Î B, sehingga    (x,y) Î f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)

   y = f (x) : rumus untuk fungsi f

   x disebut variabel bebas    y disebut variabel tak bebas

   Contoh :
   Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
   Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
   a.    Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
   b.    Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang   kartesius.
   c.    Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

   Jawab :
   a.    f (x) = 2x – 1, maka :
   f (0) = -1
   f (1) = 1  
   f (2) = 3
   f (3) = 5
   f (4) = 7

   b.    Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

   

   a.    Daerah hasil fungsi f è R_f = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}

    

   Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak tertulis di suatu soal, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).

   Contoh :

   Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :

   1.   f (x) =

   Jawab :

   f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1

   Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}

   2.   g (x) =

    

   Jawab :

   g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :

   4 – x² ³ 0

   x² – 4 £ 0

   (x-2) (x+2) £ 0   è  -2 £ x £ 2

   Jadi Dg = {x | -2 £ x £ 2, x Î R}

    Demikian topik tentang fungsi ini sebagai pendahuluan penulis sampaikan sekian dulu, kedepannya akan dilengkapi.

   Selanjutnya bersambung ke artikel "Komposisi Fungsi" dan "Fungsi Invers" 

   @by-paay